中心極限定理を観察しよう

中心極限定理

確率変数X1X2,・・・・・・,Xnが互いに独立で、

それぞれ同じ分布の特性(期待値=μ 、分散= σ2 )を持つとき、

       Z X1X2+・・・・・・+Xn

は、やはり確率変数で、n が十分大きいとき、期待値=nμ、分散=nσ2 正規分布であるとみなすことができる。 n の極限では、Zは正規分布に収束する。

という定理があるが、これを証明するのはさておき、実際にこのような分布をエクセルのファイル上で発生させて観察してみよう。
観察の方法
ランダム関数rand()でXi を発生させる

rand()は0以上1以下の数で一様分布である。各Xi に対してrand()は、それぞれ独立に発生させる。よって、各Xi は、同じ分布の特性を持ち、

       Z X1X2+・・・・・・+X10

はやはり確率変数で、Z は 0≦Z≦10 で値をとり中心極限定理により、正規分布で近似できる。

Z を発生させる試行をひたすら繰り返して、その結果の分布を調べれば、大数の法則によりZ は正規分布に近づくはずである。

ここではn=10としているが、実は10もあれば、十分正規分布の形を見ることができる。
この10を∞まで大きくして、試行を無限回繰り返すと正規分布に収束することになる。

とにかく試しに観察してみよう。

ファイルの使い方

まずはダウンロード。右クリックして「対象をファイルに保存」してください

    右Click → 中心極限定理を見るファイル(マクロを含むファイルです)

ファイルを開くと以下のようなシートが現れます。

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@ のセルに試行回数を入力する。100〜500くらいで十分

 ボタンをクリックすれば、試行が開始され、正規分布の形が作られるはず。


B 試行を追加したければ、そのまま@Aの操作を繰り返せば良い。

C やり直したければ、  ボタンをクリックした後、@Aの操作を繰り返す。

D zoom_x、zoom_yを調整して見やすくする。尚、zoom_xの調整は試行前のみ有効。


D 同時に対数正規分布に変換した様子も見える。