三角関数の合成

    

この等式の証明は数学の教科書では、加法定理によるものが一般的です。しかし、三角関数は元をたどれば三角比の学習からの延長であり、図形を意識するため、加法定理という公式に頼った証明は慣れるまで受け入れ難く感じます。

受験勉強に携わっていると「変数をひとつにまとめるテクニック」として利用することが多い訳ですが、ふと「この等式はいったいどのような意味があるのか。この左辺と右辺の関係を図形で表すとどうなるのか。」などと考えたことがあるのではないでしょうか?

三角関数のグラフからアプローチすれば、波の合成ということになりますが、やはり、三角比を利用した測量からのアプローチの方がイメージし易いのではないかという訳で、いろいろ作ってみました。

 三角定規で幅を測ってみよう(PPT版) (word 版はこちら)

三角定規を使って道幅を測量します。一般化したものが三角関数の合成の公式となります。

 加法定理による証明(HTML版) (word 版はこちら)

まずは、教科書に載っている証明から

 原点を中心とした回転移動(HTML版) (word 版はこちら)

三角関数の合成は、xy平面上の点を回転移動させたときのy座標を表しています。
測量計算によるものと一次変換・極座標を利用するものと2通り解説しました。

 点の移動経路(HTML版) (word 版はこちら)

左辺と右辺で、それぞれ、別の移動経路を辿って距離を計算しており、移動経路は異なっても結果的に同じ点に到達するため等号が成立することを意味しています。測量計算によるものとベクトルを利用したものと2通り解説しました。

 

 

金融数理入門トップへ