方べきの定理

方べきの定理

方べきの定理は教科書で次のように紹介され、3つの図形が示されています。

点Pを通る2直線が、与えられた円と点A,Bおよび点C,Dで交わるとき,次の式が成り立つ

PA・PB=PC・PD                                PA・PB=PT2

 

色々な図形で表す

点P,A,B,C,Dは、それぞれ以下のように定義できます。

【点の条件】

 点 ・・・ 2つの 直線の交点

 点,,C,D ・・・ 円と直線の共有点

 (TCDが重なる場合)

     

方べきの定理は平行でない2直線と円の各共有点について成立する関係を表しており次の図形も点の条件を満たし、方べきの定理が成立します。

◆ 連続的に表す

点の条件を満たしながら3つの図形を連続的に表してみましょう。

【方法1】

点Dを中心にして直線mを回転させて、3つの図形を連続的に表す。

【方法2】

直線mを平行移動させて、3つの図形を連続的に表す。

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勘違い

Pと円周上の4点を結んでいる図形?と考えて、下図のように連続的に変化させてみました。しかし、これでは途中の図形も最後の図形も定理が成立しません。図形の解釈を誤っています。

◆ 円周角の定理,接弦定理,内接四角形の外角へ

点Pを円周上にとると円周角ができます。 点の条件を満たしながら点Pを円周上で動かしてみましょう。「円周角の定理→接弦定理→内接四角形の外角」を連続的に表せます。

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面積が等しい

PA・PB=PC・PD

PAとPBを辺とする長方形の面積とPCとPDを辺とする長方形の面積が等しいことを表しています。

 

PA・PB=PT2

 PAとPBを辺とする長方形の面積とPTを辺とする正方形の面積が等しいことを表しています。

 

   

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◆ おまけ その他動かせるファイル チェバの定理 メネラウスの定理